Question

（2012•郑州二模）已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（

1

e

，f（

1

e

））处的切线斜率为自然对数的底数．
（I）求实数a的值；
（II）设g（x）=

f(x)-x

x-1

，求g（x）的单调区间；
（III）当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明：

m n

n m

＞

n

m

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax+xlnx，知f′（x）=a+1+lnx，依题意f′(

1

e

)=a，由此能求出a．
（Ⅱ）因为g（x）=

f(x)-x

x-1

=

xlnx

x-1

，所以g′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

．设∅（x）=x-1-lnx，则∅′（x）=1-

1

x

，由此能求出g（x）的单调区间．
（Ⅲ）要证

m n

n m

＞

n

m

，即证

lnn

m

-

lnm

n

＞lnn-lnm，即

n-1

n

lnm＞

m-1

m

lnn，

mlnm

m-1

＞

nlnn

n-1

，由此能够证明

m n

n m

＞

n

m

．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，
依题意f′(

1

e

)=a=1，所以a=1．…（2分）
（Ⅱ）因为，g（x）=

f(x)-x

x-1

，
g（x）=

f(x)-x

x-1

=

xlnx

x-1

，所以g′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

．
设∅（x）=x-1-lnx，
则∅′（x）=1-

1

x

．…（4分）
当x＞1时，∅′（x）=1-

1

x

＞0，∅（x）是增函数．
对?x＞1，∅（x）＞∅（1）=0，
即当x＞1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上为增函数，…（6分）
当0＜x＜1时，∅′（x）=1-

1

x

＜0．∅（x）是减增函数．
对?x∈（0，1），∅（x）＞∅（1）=0，
即当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上为增函数，
所以，g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）要证

m n

n m

＞

n

m

，即证

lnn

m

-

lnm

n

＞lnn-lnm，
即

n-1

n

lnm＞

m-1

m

lnn，

mlnm

m-1

＞

nlnn

n-1

．…（10分），
因为m＞n＞1，由（2）知，g（m）＞g（n），
所以

m n

n m

＞

n

m

．…（12分）

点评：本题主要考查函数的性质、导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．