Question

若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，P为双曲线上一点，且|PF₁|=3|PF₂|，则该双曲线离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a进而根据|PF₁|=3|PF₂|，求得a=|PF₂|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，

c

a

=2且双曲线离心率大于1，可得最后答案．

解答：解根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，即3|PF₂|-|PF₂|=2a．
∴a=|PF₂|，|PF₁|=3a
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
2c＜4|PF₂|，c＜2|PF₂|=2a，
∴

c

a

＜2，
当p为双曲线顶点时，

c

a

=2
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤2
故答案为：1＜e≤2．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系．解题的时候一定要注意点P在椭圆顶点位置时的情况，以免遗漏答案．