题目内容

已知O，A，B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，则 $数学公式$ 的值为________．

12
分析：设M是AB的中点，将向量 $\text{[math]}$ 表示成 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ，再结合P为线段AB垂直平分线上任意一点，得 $\text{[math]}$ ，转化为求数量积 $\text{[math]}$ ，再用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 代入，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，结合已知条件的数据，不难得出这个数量积．
解答：根据题意，设M是线段AB的中点，得
$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
因此 $\text{[math]}$
又∵△OAB中，OM是AB边上的中线
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为：12
点评：本题考查了平面向量数量积的运算，着重考查了数量积在三角形中的应用，属于中档题．