Question

若一个矩形的对角线长为常数a，则其周长的最大值为（　　）

• A．4a
• B．

  2

  a
• C．2

  2

  a
• D．

  1

  2

  a2

Answer 1

分析：设矩形的长和宽分别为x，y，则x²+y²=a²，其面积S=xy，由基本不等式得S≤（x²+y²）=a²．即可得知准确选项．

解答：解：如图，
设矩形的长和宽分别为x，y，则x²+y²=a²，其周长L=2x+2y，
∵2xy≤x²+y²=a²，当且仅当x=y时取到等号
∴L²=4（x²+y²+2xy）=4x²+4y²+8xy≤8（x²+y²）=8a²，当且仅当x=y时取到等号，此时为正方形．L≤2

2

a．
周长的最大值为：2

2

a．
故选：C．

点评：本题考查基本不等式的应用，要注意三条原则：正，各项的值为正；定，各项的和或积为定值；等，验证是否满足等号取到的条件．