Question

定义：F（x，y）=xy+lnx，x∈（0，+∞），y∈R，f（x）=（其中a≠0）．
（1）求 f（x） 的单调区间；
（2）若恒成立，试求实数a的取值范围；
（3）记f′（x）为f（x）的导数，当a=1时，对任意的n∈N^*，在区间[1，f′（n）]上总存在k个正数a₁，a₂，a₃，…，a₄，使成立，试求k的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求f（x）的单调区间，可用导数法，先得到 f（x）的表达式，对其求导，令导数大于0求出增区间，进而得出减区间，由于未知数的系数带着字母，故应对其符号进行讨论，本题得分成两类求单调区间．
（2）恒成立，试求实数a的取值范围，此题先求出函数f（x）的最大值，令其小于-解不等式即可求出实数a的取值范围，由（1）知，a＞0时，f（x）增区间为（0，+∞）；故此时不可能恒小于-，当求出a＜0时的最大值令其小于-即可解出，数a的取值范围．
（3）当a=1时，f（x）=x²+lnx，，先研究的单调性知其在N^*上是增函数，故在区间[1，f′（n）]是增函数，欲求k的最小值，求出∈[1，f'（1）]时多少个k个正数的和大于2010即可．
解答：解：（1），则
①a＞0时，f'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）上递增
②当a＜0时，令f'（x）=0，则，（3分）
时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．
综上，a＞0时，f（x）增区间为（0，+∞）；
a＜0时，f（x）增区间为，减区间为．（5分）
（2）由（1）知a＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，
且x=1时，，则，∴不恒成立，故a＜0．（7分）
又f（x）的极大值即f（x）最大值∵恒成立，
只须
∴，即∴-2＜a＜0（9分）
（3）当a=1时，f（x）=x²+lnx，
令g（x）=f'（x），则（11分）
当x∈[1，+∞）时，g'（x）＞0
∴在[1，+∞）上是增函数
当n∈N^*时，
∴f'（x）在[1，f'（n）]上是增函数（13分）
当n=1时，f'（1）=3∴当a_i∈[1，f'（1）]，i=1，2，3，…，k时，

则为使得k最小，需，i=1，2，3，…，k
则，又k∈N^*，所以k_min=318，
当n＞1时，f'（n）＞f'（1），∴当a_i∈[1，f'（n）]，i=1，2，3，…，k时，
则为使得k最小，
需，i=1，2，3，…，k
则，又又k∈N^*，所以k_min＜318
当k＜318时，对n=1时，不存在k个正数，使得，所以，k_min=318（16分）
点评：本题考查函数性质的综合运用，是一个对逻辑推理能力要求较高的题目，尤其是第三问，需要正确分析、判断、转化．