题目内容

设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=
6
3
，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l是圆O：x2+y2=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：
OA
•
OB
为定值．
（Ⅰ）由题意可得
e=
c
a
=
6
3
a2=b2+c2
1
a2
+
1
b2
=1
，解得
a2=4
b2=
4
3
，
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
3y2
4
=1．
（Ⅱ）①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
则圆心O到直线l的距离d=
|m|
1+k2
，
∴1+k2=m2．
将直线l的方程和椭圆C的方程联立
y=kx+m
x2
4
+
3y2
4
=1
，得到（1+3k2）x2+6kmx+3m2-4=0．
设直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则x1+x2=-
6km
1+3k2
，x1x2=
3m2-4
1+3k2
．
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)•
3m2-4
1+3k2
+km(-
6km
1+3k2
)+m2
=
4m2-4-4k2
1+3k2

=0，
②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得
OA
•
OB
=0．
综合上述可得，
OA
•
OB
为定值0．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
（1）求椭圆离心率e；
（2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求椭圆C的方程．
精英家教网设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
（2012•盐城一模）设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值
5
+2
5
+2
．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P 是椭圆上的一点，|
PF1
|+|
PF2
|=4，离心率e=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求点P的坐标；
（3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e=
2
2
，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x-
3
y-3=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

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