Question

已知a＞0,函数f(x)=ax-bx².

(1)当b＞0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明;

(2)当b＞1时,证明对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤;

(3)当0＜b≤1时,讨论:对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件.

Answer 1

(1)证明:依题意知,对任意x∈R,都有f(x)≤1.

∵,∴.

∵a＞0,b＞0,∴.

(2)证明:必要性:对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1f(x)≥-1,

∴f(1)≥-1,即a-b≥-1.∴a≥b-1.

对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1f(x)≤1,

∵b＞1,可以推出,

即,∴.∴b-1≤a≤.

充分性:∵b＞1,a≥b-1,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx²≥b(x-x²)-x≥-x≥-1,即ax-?bx²≥-1.

∵b＞1, .对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx²≤x-bx²≤1,

即ax-bx²≤1.∴-1≤f(x)≤1.

综上,当b＞1时,对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤.

(3)解:∵a＞0,0＜b≤1时,对任意x∈［0,1］,有f(x)=ax-bx²≥-b≥-1,

即f(x)≥-1.

f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1,即a≤1+b.

a≤1+bf(x)≤(1+b)x-bx²≤1,即f(x)≤1.

∴当a＞0,0＜b≤1时,对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是a≤1+b.

启示:本题主要考查二次函数、不等式、充要条件的综合应用,考查分类讨论思想和逻辑推理能力以及思维能力.