Question

设t=sinα+cosα，若sin³α+cos³α＜0，则t的取值范围是

[-

2

，0)

．

Answer 1

分析：把已知不等式的左边利用立方和公式分解因式，并利用完全平方公式配方后，根据完全平方式大于0及不等式小于0，判断出sinα+cosα，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把sinα+cosα化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的最小值，即可得出t的范围．

解答：解：∵sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=（sinα+cosα）[（sinα-

1

2

cosα）²+

3

4

cos²α]＜0，而[（sinα-

1

2

cosα）²+

3

4

cos²α]＞0，
∴sinα+cosα＜0，即t=sinα+cosα＜0．
而t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），
∵-1≤sin（α+

π

4

）≤1，
∴-

2

≤t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）≤

2

，
∴t_min=-

2

，
∴-

2

≤t＜0．
则t的取值范围是[-

2

，0）．
故答案为：[-

2

，0）

点评：此题考查了同角三角函数的基本关系，立方和公式，以及两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．