Question

设0≤θ≤π，P=sin2θ+sinθ-cosθ
（1）若t=sinθ-cosθ，用含t的式子表示P；
（2）确定t的取值范围，并求出P的最大值．

Answer 1

解：（1）由t=sinθ-cosθ，有t²=1-2sinθcosθ=1-sin2θ．∴sin2θ=1-t²，∴P=1-t²+t=-t²+t+1．
（2）由以上可得 ．
∵0≤θ≤π，∴，∴．
即t的取值范围是．由于函数，在内是增函数，
在内是减函数．
∴当 t=时，P取得最大值是．
分析：（1）由t=sinθ-cosθ，有t²=1-2sinθcosθ=1-sin2θ，由此可得 P=1-t²+t=-t²+t+1．
（2）由以上可得 ，根据θ的范围求得，再利用二次函数的性质求出P的最大值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质的应用，属于中档题．