Question

已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,其左焦点为F,长轴长为4,左顶点到左准线的距离与左顶点到左焦点的距离之比为2∶.过F点倾斜角为α(α∈［,］)的直线l与椭圆交于P、Q两点,直线OP、OQ分别交左准线于M、N.

(1)求椭圆的方程;

(2)求||的取值范围.

Answer 1

解:(1)设椭圆方程为=1(a＞b＞0),

则

解得∴椭圆方程为+y²=1.

(2)设直线l为x=my,代入+y²=1整理,得

(m²+4)y²-2my-1=0.

设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则|y₁-y₂|==.

x₁x₂=(my₁-)(my₂-)=m²y₁y₂-m(y₁+y₂)+3=.

又y_m=·,y_n=·,∴|MN|=|y_m-y_n|=||

=||=4||=.

令t=,∴|MN|=(t≥1).∵≤α≤,m=cotα,

∴当α=时,l与准线不相交,故m≠0.∴0＜m²≤.∴1＜t≤.

∵u=-t在(1,］上递减,∴＜u≤3,则＜||≤.