Question

已知直线l:x-y+3=0,一光线自点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上一点C，最后又从C点反射回A点.

(1)试判断由此得到的△ABC是有限个还是无限个？

(2)依你的判断，认为是无限个时求出所有这样的△ABC周长的最小值；认为是有限个时，也求出△ABC周长的最小值.

Answer 1

解：(1)得到△ABC是有限个.

理由如下：要满足题设条件B、C两点可由下列方法得到，作A点关于x轴的对称点A₁，再作A点关于直线x-y+3=0的对称点A₂，连结A₁A₂交x轴、直线x-y+3=0于B、C两点，由平面几何知识知，B、C即为所求两点，此时B、C是唯一的.

    (2)由(1)知，A₁(1，-2)、A₂(-1,4).

    ∴△ABC周长的最小值即为|A₁A₂|的长.

    而|A₁A₂|==2.∴△ABC周长的最小值为2.