Question

已知函数
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）记函数的图象为曲线，设点是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”，试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

Answer 1

（1）当时，的单调递增区间为；当，的单调递增区间为和；（2）函数不存在“中值相依切线”.

试题分析：（1）当时，分和两种情况分别进行分析，当时, , 显然函数在上单调递增；当时, ，令,解得或;所以当时,函数在上单调递增；当时,函数在和上单调递增；（2）先设是曲线上的不同两点，求出的表达式化简得到：，再经过求导分析得出函数不存在“中值相依切线”.
试题解析：（1）函数的定义域是. 由已知得， 
当时, , 显然函数在上单调递增；
当时, ，令,解得或; 
函数在和上单调递增，
综上所述:①当时,函数在上单调递增；
②当时,函数在和上单调递增；
（2）假设函数存在“中值相依切线”
设是曲线上的不同两点，且，
则，.
  
曲线在点处的切线斜率  
依题意得： 
化简可得： ， 即= 
设 ()，上式化为：,
.  令,
.
因为,显然，所以在上递增,
显然有恒成立.  所以在内不存在,使得成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”.