Question

已知直线y=x-2与抛物线y²=2x相交于点A、B，求证：OA⊥OB.

Answer 1

证法一：将y=x-2代入y²=2x中，得（x-2）²=2x，

化简得x²-6x+4=0,∴x=3±.?

∴x=3+时,y=1+；?

x=3-时，y=1-.?

∴k_OA·k_OB=×=-1.

∴OA⊥OB.

证法二：同证法一得方程x²-6x+4=0.?

∴x₁+x₂=6,x₁·x₂=4.?

∴y₁·y₂=（x₁-2）（x₂-2）=x₁·x₂-?2（x₁?+?x₂）+?

4=-4.?

∴k_OA·k_OB==-1.

∴OA⊥OB.