Question

已知数列中， ，且．

(1) 求数列的通项公式；

(2) 令，数列的前项和为，试比较与的大小；

(3) 令，数列的前项和为．求证：对任意，

都有 ．

 

Answer 1

【答案】

 (1) ．    （2）当时，；当时，；当时，．

猜想当时，．    （3）略

【解析】已知数列的项与和的递推关系求数列的通项时，一般通过仿写构造一个新等式，两个式子相减得到项的递推关系，再据递推关系的特点选择合适的求通项方法；求数列的前n项和，关键是根据数列通项的特点选择合适的求和方法

（1）将已知的和与项的递推关系中的n用n-1代替，仿写出一个新的等式，两个式子相减，利用等差数列的定义得到一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项．

（2）由于数列的通项是一个等差数列与一个等比数列的乘积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和

（3）因为，对于n分类讨论的得到前n项和