Question

已知三棱锥A-PBC，∠ACB=90°，AB=20，BC=4，PA⊥PC，D为AB边中点且△PDB为正三角形．
（1）求证：BC⊥平面PAC； 
（2）求三棱锥D-PBC的体积．

Answer 1

分析：（1）由D为AB边中点且△PDB为正三角形可得AP⊥PB，结合PA⊥PC及线面垂直的判定定理可得PA⊥平面PBC，进而PA⊥BC，由∠ACB=90°结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC； 
（2）由AB=20，BC=4，D为AB边中点结合（1）中结论，求出三棱锥D-PBC的底面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：证明：（1）∵D为AB边中点且△PDB为正三角形
∴AP⊥PB
又∵PA⊥PC，PB∩PC=B，PB，PC?平面PBC
∴PA⊥平面PBC
又∵BC?平面PBC
∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC
又∵PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC
∴BC⊥平面PAC； 
解：（2）在Rt△PAB中，AB=20，PB=

1

2

AB=10
∴PA=

AB2-PB2

=10

3

∵D为AB边中点
∴三棱锥D-PBC的高h=

1

2

PA=5

3

底面PBC中，BC=4，
∴PC=

PB2-BC2

=2

21

故S_△PBC=

1

2

•PC•BC=4

21

故三棱锥D-PBC的体积V=

1

3

•S_△PBC•h=20

7

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的转化关系是解答的关键．