Question

（1）设a，b＞0，且2a+b=1，设T=2

ab

-a2-b2，则当a=

1

3

且b=

1

3

时，T_max=

4

9

．
（2）设a，b＞0，且2a+b=1，设T=2

ab

-4a2-b2，则当a=

1

4

且b=

1

2

时，T_max=

2

2

-

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由题设中代数式的形式可以判断出，当2

ab?

最大，而a²+b²取最小值时，T可取到最大值，由基本不等式即可求出最大值；
（2）由题设中代数式的形式可以判断出，当2

ab?

最大，而4a²+b²取最小值时，T可取到最大值，由基本不等式即可求出最大值；

解答：解：（1）由题意a，b＞0，且2a+b=1，
由于2

ab?

≤a+b，a²+b²≥2ab，当a=b时等号成立，
又2a+b=1，故有a=b=

1

3

时等号成立，
所以T_max=

4

9

故答案为

1

3

，

1

3

，

4

9

（2）考察代数式T=2

ab

-4a2-b2，4a²+b²≥4ab，等号当且仅当2a=b时成立，
此时有2

ab?

=

2

×

2ab?

≤

2

×

2a+b

2

，等号成立的条件是2a=b
又2a+b=1，故有2a=b=

1

2

时T=2

ab

-4a2-b2取到最大值
最大值为

2

2

-

1

2

，此时a=

1

4

，b=

1

2

故答案为

1

4

，

1

2

，

2

2

-

1

2

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，解题的关键是熟练掌握基本不等式求最值的规则，一正，二定，三相等，解答本题的难点寻求等号成立的条件，本题易因为找不到等号成立的条件致使无法下手，注意总结基本不等式求最值时规律．