Question

函数f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

Answer 1

（1）若函数f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
则f（-x）=

-ax+b

x2+1

=-f（x）=-

ax+b

x2+1

解得b=0
又∵f(

1

2

)=

2

5

．
∴

1 2 a

1 2 2+1

=

2

5

解得a=1
故f(x)=

x

x2+1

（2）任取区间（-1，1）上两个任意的实数m，n，且m＜n
则f（m）-f（n）=

m

m2+1

-

n

n2+1

=

(m-n)(1-mn)

(m2+1)(n2+1)

∵m²+1＞0，n²+1＞0，m-n＜0，1-mn＞0
∴f（m）-f（n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）在（-1，1）上是增函数