Question

在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0．

(Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数；

(Ⅱ)θ为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少?

Answer 1

 (1)设S为十字形的面积，则S=2xy-x²=2sinθcosθ-cos₂θ(<θ< )

 (2)解法1 

S=2sinθcosθ-cos²θ=sin2θ-cos²θ,其中=1，即2θ-=时，S最大．

∴当θ=时，S最大，S的最大值为．

 解法2  ∵S=2sinθcosθ-cos²θ，

∴S′=2cos²θ- 2sin²θ+2sinθ·cosθ=2cos2θ+sin2θ．

  令S′=0．即2cos2θ+sin2θ=0，

   可解得θ=arctan(-2)．

∴当θ=arctan(-2)时，S最大，S的最大值为．