Question

4．已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上只有1和3两个零点，且y=f（2-x）与y=f（7+x）都是偶函数，则函数y=f（x）在[-2015，2015]上的零点个数为（　　）

• A． 804
• B． 805
• C． 806
• D． 807

Answer 1

分析 根据y=f（2-x）与y=f（7+x）都是偶函数，得到函数f（x）=f（10+x）即函数是周期函数，利用函数的周期性即可得到函数零点的个数．

解答 解：∵y=f（2-x）与y=f（7+x）都是偶函数，
∴f（2-x）=f（2+x），f （7+x）=f（7-x），即f（x）关于x=2和x=7对称．
∵f（2-x）=f（2+x），∴f（4-x）=f（x）；
∵f（7-x）=f（7+x），∴f（4-x）=f（10+x），∴f（x）=f（10+x），
即10是函数f（x）的一个周期．
∵f（7-x）=f（7+x），函数f（x）在[4，7]上无根．∴函数f（x）在[7，10]上无根．
∴f（x）=0在[0，10]上恰有两根为1和3．
f（x）=0的根为10n+1或10n+3的形式．
∴0≤10n+1≤2015，解得0≤n≤201.4，共202个
∴0≤10n+3≤2015，解得0≤n≤201.2，共202个，
∴方程f（x）=0在闭区间[0，2013]上根的个数为404个，
同理可得，方程f（x）=0在区间[-2015，0）上根的个数为402个，
故方程f（x）=0在[-2015，2015]上的根的个数为806个，
故函数y=f（x）在[-2015，2015]上的零点个数为806个，
故选：C．

点评 本题主要考查函数零点的个数的判断，利用函数的奇偶性得到函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用，属于基础题．