Question

12．已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，SA=AB=BC=2，AD=1，SA⊥底面ABCD．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）（理）求SC与平面SAB所成角的大小
（文）求异面直线SC与AD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）先求出S_梯形ABCD，由此能求出四棱锥S-ABCD的体积．
（2）（理）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能过河卒子同SC与平面SAB所成角的大小．
（2）（文）求出$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{SC}$，利用向量法能求出异面直线SC与AD所成角的大小．

解答 解：（1）∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，
AD∥BC，SA=AB=BC=2，AD=1，SA⊥底面ABCD，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}×（1+2）×2$=3，
∴四棱锥S-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×3×2=2$．
（2）（理）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
则S（0，0，2），A（0，0，0），C（2，2，0），B（2，0，0），
$\overrightarrow{SC}$=（2，2，-2），平面SAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设SC与平面SAB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{SC}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{SC}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2}{\sqrt{12}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴SC与平面SAB所成角的大小为$arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）（文）D（0，1，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），$\overrightarrow{SC}$=（2，2，-2），
设异面直线SC与AD所成角的大小为α，
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{SC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{SC}|}$|=|$\frac{2}{\sqrt{12}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴异面直线SC与AD所成角的大小为arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，考查线面角和异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．