Question

19．已知函数$f（x）=lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}-1$．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设g（x）=-x²+2bx-4，（1≤b≤2），若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数没理由导函数的符号，求解函数的单调区间即可．
（2）若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立等价于f（x）_min≥g（x）_max，
通过求解函数的最值，列出不等式求解实数b的取值范围．

解答 解：（1）$f（x）=lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}-1（x＞0）$，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{4}-\frac{3}{{4{x^2}}}=\frac{{4x-{x^2}-3}}{{4{x^2}}}$，
由x＞0及f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞3，
故函数f（x）的单调递减区间是（0，1），（3，+∞）．
（2）若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立等价于f（x）_min≥g（x）_max，
由（1）可知，在（0，2）上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，
所以$f{（x）_{min}}=f（1）=-\frac{1}{2}$；g（x）=-x²+2bx-4，x∈[1，2]，
当1≤b≤2时，$g{（x）_{max}}=g（b）={b^2}-4$，$\left\{\begin{array}{l}1≤b≤2\\-\frac{1}{2}≥{b^2}-4\end{array}\right.$即$1≤b≤\frac{{\sqrt{14}}}{2}$，
所以实数b的取值范围是$1≤b≤\frac{{\sqrt{14}}}{2}$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．