Question

20．若实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5≤0}\\{x≤3}\\{x+y+k≥0}\end{array}\right.$且z=2x+4y的最小值为-14，则常数k的值为（　　）

• A． 10
• B． $\frac{19}{3}$
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5≤0}\\{x≤3}\\{x+y+k≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5=0}\\{x+y+k=0}\end{array}\right.$，解得A（$-\frac{k+5}{2}，\frac{5-k}{2}$），
化目标函数z=2x+4y为$y=-\frac{x}{2}+\frac{z}{4}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{x}{2}+\frac{z}{4}$过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为$2×（-\frac{k+5}{2}）+4×\frac{5-k}{2}=-3k+5=-14$，
即k=$\frac{19}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．