题目内容
已知M，N分别在△ABC的边AB和AC上，且| AM |
| MB |
| AN |
| NC |
| AB |
| a |
| AC |
| b |
（1）若P为线段CM的中点，用
| a |
| b |
| AP |
（2）设CM与BN交于点Q，求
| |BQ| |
| |QN| |
分析：（1）由M，N分别在△ABC的边AB和AC上，P为线段CM的中点，且
=2
，
=
，我们易根据向量加法的三角形法则，用
，
表示
；
（2）由
=
，
=
，我们易将向量
，
，
，用
，
表示，利用向量加减法的运算法则，易得到
+
+
=
(
+
)．
（2）由于B，Q，N三点共线，根据共线向量基本定理得：存在实数λ使得
=λ
=-λ
+
λ
，同理C，Q，M三点共线，存在实数m，n使得
=m
+n
，且m+n=1，综合即得结论．
| AM |
| MB |
| AN |
| NC |
| a |
| b |
| AP |
（2）由
| AB |
| a |
| AC |
| b |
| AP |
| AQ |
| AS |
| a |
| b |
| AP |
| AQ |
| AS |
| 3 |
| 2 |
| a |
| b |
（2）由于B，Q，N三点共线，根据共线向量基本定理得：存在实数λ使得
| BQ |
| BN |
| a |
| 1 |
| 2 |
| b |
| BQ |
| BM |
| BC |
解答：解：（1）
=
+
=
+
，
又∵
=
-
=
-
，∴
=
+
…．（3分）
（2）∵
=
，∴
=
，
=
+
=-
+
．
∵B，Q，N三点共线，
∴存在实数λ使得
=λ
=-λ
+
λ
，①
∵
=2
，∴
=-
，又
=
-
∵C，Q，M三点共线，
∴存在实数m，n使得
=m
+n
，且m+n=1，
即
=-
+n(
-
)=-(
+n)
+n
，②
综合①②，得
，
又m+n=1，解得λ=
，∴
=1…..（10分）
| AP |
| AC |
| CP |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| CM |
又∵
| CM |
| AM |
| AC |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| AP |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| AC |
（2）∵
| AN |
| NC |
| AN |
| 1 |
| 2 |
| b |
| BN |
| BA |
| AN |
| a |
| 1 |
| 2 |
| b |
∵B，Q，N三点共线，
∴存在实数λ使得
| BQ |
| BN |
| a |
| 1 |
| 2 |
| b |
∵
| AM |
| MB |
| BM |
| 1 |
| 3 |
| a |
| BC |
| b |
| a |
∵C，Q，M三点共线，
∴存在实数m，n使得
| BQ |
| BM |
| BC |
即
| BQ |
| m |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| m |
| 3 |
| a |
| b |
综合①②，得
|
又m+n=1，解得λ=
| 1 |
| 2 |
| |BQ| |
| |QN| |
点评：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，利用向量加减法的三角形法则，及数乘向量运算法则，将平面内任一向量分解为用基底向量表示的形式，是解答本题的关键．
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