Question

已知O为坐标原点，点M，N分别在x，y轴上运动，且|MN|=4，动点P满足

MP

=

1

3

PN

．
（I）求动点P的轨迹C的方程．
（II）过点（0，2）的直线l与C交于不同两点A，B．
①求直线l斜率k的取值范围．②若OA⊥OB，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），由条件

MP

=

1

3

PN

将a和b用x和y表达，代入|MN|=4即可．
（II）①设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立、消元、△＞0解不等式即可
②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，由维达定理表示出x₁x₂和y₁y₂代入求解即可．

解答：解：（I）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），由条件

MP

=

1

3

PN

得（x-a，y）=

1

3

（-x，b-y），即

a= 4 3 x b=4y

因为|MN|=4，所以a²+b²=16，即

x2

9

+y2=1
（II）设直线l的方程为：y=kx+2，与椭圆方程联立、消元得：（1+9k²）x²+36kx+27=0  （1）
①直线l与C交于不同两点A，B则△＞0，解得k＜-

3

3

或k＞

3

3

②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0  （2），
由（1）可得x₁x₂=

27

1+9k2

，x₁+x₂=-

36k

1+9k2

所以y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

4-9k2

1+9k2

代入（2）得k2=

31

9

，k=±

31

3

所以直线l的方程为：y=±

31

3

x+2

点评：本题考查相关点法求轨迹方程、直线和椭圆位置关系的判断、维达定理的应用等知识，考查运算能力和转化能力．