Question

若a、b为正实数，a+b=3，则

1+a

+

1+b

的最大值是

10

．

Answer 1

分析：由题设条件，由于

1+a

+

1+b

是一个非负数，故可通过求

1+a

+

1+b

的平方的最值来求其最值

解答：解：

1+a

+

1+b

=

1+a+2 (1+a)(1+b) +1+b

=

2+a+b+2 2+a+b+ab

又a、b为正实数，a+b=3
∴

1+a

+

1+b

=

5+2 4+ab

≤

5+2 4+( a+b 2 ) 2

=

10

，等号当且仅当a=b=

3

2

时成立
故答案为

10

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，解题的关键是把代数式的形式变为可以利用基本不等式变形的形式，这也是本题的难点与重点，利用不等式求最值的题都有一个明显的特征，即所涉及的数（或式）是同号的，且出现了和为定值或积为定值的情形．本题考查了构造的技巧与转化的思想．