Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别是F₁（-c，0），F₂（c，0），直线l：x=my+c与椭圆C交于两点M，N且当时，M是椭圆C的上顶点，且△MF₁F₂的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线：x=4分别相交于点P，Q，问当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据时，直线的倾斜角为120°，又△MF₁F₂的周长为6，即可求得椭圆方程；
（2）利用特殊位置猜想结论：当m=0时，直线l的方程为：x=1，求得以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F₂，被x轴截得的弦长为定值6，再进行证明即可．
解答：解：（1）当时，直线的倾斜角为120°，又△MF₁F₂的周长为6
所以：…（3分）
解得：，…（5分）
所以椭圆方程是：；…（6分）
（2）当m=0时，直线l的方程为：x=1，此时，M，N点的坐标分别是，又A点坐标是（-2，0），
由图可以得到P，Q两点坐标分别是（4，3），（4，-3），以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F₂，被x轴截得的弦长为定值6，…（8分）
证明如下：
设点M，N点的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），则直线AM的方程是：，
所以点P的坐标是，同理，点Q的坐标是，…（9分）
由方程组得到：3（my+1）²+4y²=12⇒（3m²+4）y²+6my-9=0，
所以：，…（11分）
从而：
==0，
所以：以PQ为直径的圆一定过右焦点F₂，被x轴截得的弦长为定值6．…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用特殊位置，猜想结论，再进行证明．