Question

已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.

Answer 1

（1）椭圆的方程为  ；（2）直线被圆截得的弦长的取值范围是

（1）由,
得,
则由,解得F（3,0）
设椭圆的方程为,则,
解得  所以椭圆的方程为  
（2）因为点在椭圆上运动,所以,  
从而圆心到直线的距离.
所以直线与圆恒相交
又直线被圆截得的弦长为

由于,所以,则,
即直线被圆截得的弦长的取值范围是