Question

二项式（

x

-

2

x

）ⁿ的展开式中：
（1）若n=6，求倒数第二项；
（2）若第5项与第3项的系数比为56：3，求各项的二项式系数和．

Answer 1

分析：（1）当n=6时，利用二项展开式的通项公式即可求得倒数第二项；
（2）依题意，由

C

4 n

•（-2）⁴：

C

2 n

•（-2）²=56：3可求得n=10，从而可求各项的二项式系数和．

解答：解：（1）∵当n=6时，二项式（

x

-

2

x

）⁶的展开式中共7项，倒数第二项为T₆，
∴T₆=

C

5 6

•

x

•(-

2

x

)5=（-2）⁵•

C

5 6

•x

1

2

-5=-32x-

9

2

．
（2）由

C

4 n

•（-2）⁴：

C

2 n

•（-2）²=56：3得：

4C 4 n

C 2 n

=

56

3

，即

4n(n-1)(n-2)(n-3) 4×3×2×1

n(n-1) 1×2

=

56

3

，
整理得：n²-5n-50=0，
解得：n=10或n=-5（舍去）．
∴二项式（

x

-

2

x

）¹⁰的各项的二项式系数和为

C

0 10

+

C

1 10

+

C

2 10

+…+

C

10 10

=2¹⁰=1024．

点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查其通项公式与二项式系数的性质，考查运算能力，属于中档题．