Question

已知二项式（x-

2

x

）ⁿ展开式中所有二项式系数之和为1024．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中x⁴项的系数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意得，由二项式系数和 2ⁿ=1024，求得n的值．
（Ⅱ）求得展开式的第k+1项的通项公式，再令通项公式中x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中含x⁴项的系数．

解答：解：（Ⅰ）依题意得，由二项式系数和 2ⁿ=1024，┅┅┅┅（3分）
解得n=10．┅┅┅（5分）
（Ⅱ）由于展开式的第k+1项为Tk+1=

C

k 10

x10-k(-

2

x

)k=(-2)k

C

k 10

x10-

3

2

k，…（8分）
令10-

3

2

k=4，解得k=4，…（10分）
∴展开式中含x⁴项的系数为(-2)4

C

4 10

=3360．…（13分）

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．