Question

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB＝60°，AB＝2，E为AD的中点．

(1)求证：AD⊥PB；

(2)求点E到平面PBC的距离．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）

【解析】(1)连接PE、EB、BD，因为平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，E为AD的中点，所以PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形．

又E为AD的中点，所以BE⊥AE.

又PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PBE，所以AD⊥PB.

(2)过E作EF⊥PB交PB于点F，由(1)知AD⊥平面PBE，

因为AD∥BC，所以BC⊥平面PBE，

所以平面BPC⊥平面PBE，又平面PBC∩平面PBE＝PB，故EF⊥平面PBC.

故点E到平面PBC的距离EF＝＝.