Question

【题目】在如图所示的多面体中， 平面 ， ， ， ， ， ， ， 是 的中点．

（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ ， ．又 ，
∴ ， ， 两两垂直．
以点 为坐标原点， ， ， 分别为 轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ．
∴ ，∴ ．
（Ⅱ）由已知得 是平面 的法向量，
设平面 的法向量为 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，令 ，得 ，
设平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，
则 ．
∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
【解析】(1)根据题意即可证明EB、EF、EA两两垂直以点E为坐标原点EB、EF、EA分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量进而得到即可得证 B D ⊥ E G 。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面DEF和平面DEG的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。