题目内容

已知△ABC的顶点A（-1，0）、B（1，0）顶点C在直线y= $数学公式$ 上
①若sin²A+sin²B=2sin²C，求点C的坐标；
②设CA＞CB，且 $数学公式$ ，求角C．

解：①设C（m， $\text{[math]}$ ），
∵A（-1，0）、B（1，0），
∴AB= $\text{[math]}$ =2，
∴由正弦定理化简sin²A+sin²B=2sin²C得：BC²+AC²=2AB²=8，
即（m-1）²+3+（m+1）²+3=8，
解得：m=0，
则C（0， $\text{[math]}$ ）；
②∵A（-1，0）、B（1，0），C（m， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =（-1-m，- $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（1-m，- $\text{[math]}$ ），
由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =6得：（-1-m）（1-m）+3=6，
解得：m=±2，又CA＞CB，
∴m=2，
∴CA=2 $\text{[math]}$ ，CB=2，
∴cosC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又C为三角形的内角，
则C= $\text{[math]}$ ．
分析：①由C在直线y= $\text{[math]}$ 上，得到C的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，设C（m， $\text{[math]}$ ），由A和B的坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，再利用正弦定理化简已知的等式，并利用两点间的距离公式表示出BC与AC，将AB的长代入得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出C的坐标；
②由三点坐标表示出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，利用平面向量的数量积运算法则化简 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =6，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，根据CA大于CB，得到符合题意的m的值，确定出C的坐标，求出CA与CB的长，利用余弦定理表示出cosC，将三条边代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，以及两点间的距离公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．