Question

已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(I)设F(c，0)，当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0，
O到l的距离为，故，
由，得。
(Ⅱ)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立，
由(I)知C的方程为2x²+3y²=6，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
(i)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x-1)，
C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x₁+x₂，y₁+y₂)，
且2(x₁+x₂)²+3(y₁+y₂)²=6，
整理得2x₁²+3y₁²+2x₂²+3y₂²+4x₁x₂+6y₁y₂=6，
又A、B在C上，即2x₁²+3y₁²=6，2x₂²+3y₂²=6，
故2x₁x₂+3y₁y₂+3=0， ①
将y=k(x-1)代入2x²+3y²=6，
并化简得(2+3k²)x²-6k²x+3k²-6=0，
于是，，
代入①解得，k²=2，此时，
于是，即，
因此，当时，，l的方程为；
当时，，l的方程为。
(ⅱ)当l垂直于x轴时，由知，C上不存在点P使成立；
综上，C上存在点使成立，
此时l的方程为。