Question

已知向量

a

=(sin(

x

2

+

π

12

)，  cos

x

2

)，

b

=(cos(

x

2

+

π

12

)，  -cos

x

2

)，x∈[

π

2

，  π]，函数f（x）=

a

•

b

．
（1）若cosx=-

3

5

，求函数f（x）的值；
（2）若函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，且x₀∈（-2，-1），求x₀的值．

Answer 1

分析：利用向量的数量积，二倍角公式以及两角和与差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）利用x的范围，结合cosx=-

3

5

，求出sinx的值，然后求函数f（x）的值；
（2）函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，就是x=x₀，函数取得最值，求出x₀的值，通过x₀∈（-2，-1），即可求x₀的值．

解答：解：函数f（x）=

a

•

b

=sin(

x

2

+

π

12

)cos(

x

2

+

π

12

)-cos2

x

2

=

1

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

(1+cosx)…（3分）
=

3

4

sinx-

1

4

cosx-

1

2

=

1

2

sin(x-

π

6

)-

1

2

．…（6分）
（1）∵x∈[

π

2

，  π]，cosx=-

3

5

，∴sinx=

4

5

，…（9分）
∴f(x)=

3

4

sinx-

1

4

cosx-

1

2

=

3

5

-

7

20

．                       …（11分）
（2）∵f（x）的图象关于直线x=x₀对称，
∴x0-

π

6

=kπ+

π

2

，∴x0=kπ+

2π

3

，k∈Z．…（14分）
∵x₀∈（-2，-1），
∴x0=-

π

3

．                                …（16分）

点评：本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的对称性的应用，考查计算能力，转化思想．