Question

公比不是1的等比数列{a_n}的通项公式a_n=cosnβ，且对任意的n∈N^*都有a_n+2=a_n，则该数列的前2009项的积为 ______．

Answer 1

由a_n+2=a_nq²=a_n，
得到q²=1，又q≠1，所以q=-1，
令n=1，得到a₁=cosβ，n=2时，a₂=cos2β，
则

a2

a1

=

2cos2β -1

cosβ

=q=-1，
化简得：2cos²β+cosβ-1=0，
即（2cosβ-1）（cosβ+1）=0，
解得cosβ=

1

2

或cosβ=-1，
所以此数列前2009项分别为-1，1，-1，…，-1或

1

2

，-

1

2

，

1

2

，…，-

1

2

，
则该数列的前2009项的积为-1或-

1

22009

．
故答案为：-1或-

1

22009