Question

在数列{an}中，a1=a(a＞2)，an+1=

a 2 n

2(an-1)

(n∈N*)
（1）求证：a_n＞2；
（2）求证：

an+1

an

＜1；
（3）若an＞3，证明：当n≥

lg 3 a

lg 3 4

时，an+1＜3．

Answer 1

分析：（1）用数学归纳法证明，当n=1时，显然成立；假设n=k（k∈N^*）时，a_k＞2成立，再证n=k+1时成立，只需要证（a_k-2）²＞0，从而得证；
（2）由an＞2及an+1=

a 2 n

2(an-1)

，可得

an+1

an

=

an

2(an-1)

=

an

an+(an-2)

，从而可证；
（3）先证明

an+1

a

＜(

3

4

)n，再用反证法证明．

解答：证明：（1）①当n=1时，a₁=a＞2结论成立；    （1分）
②假设n=k（k∈N^*）时，a_k＞2成立

当n=k+1时，要证ak+1= a 2 k 2(ak-1) ＞2， 只要证 a 2 k -4ak+4＞0. 即证(ak-2)2＞0.

由a_k＞2知，（a_k-2）²＞0成立，所以a_k+1＞2．（4分）
由①、②知，对于n∈N^*，a_n＞2．（5分）
（2）由an＞2及an+1=

a 2 n

2(an-1)

，
得

an+1

an

=

an

2(an-1)

=

an

an+(an-2)

，

因为an-2＞0，所以an+(an-2)＞an， 所以 an an+(an-2) ＜1．故 an+1 an ＜1(n∈N*)．(8分)

（3）若an＞3，则

an+1

an

=

an

2(an-1)

=

1

2

(1+

1

an-1

)＜

1

2

(1+

1

3-1

)=

3

4

，即

an+1

an

＜

3

4

，

an

an+1

＜

3

4

，…，

a2

a1

＜

3

4

，（10分）
将上述n个式子相乘得

an+1

a1

＜(

3

4

)n，即

an+1

a

＜(

3

4

)n．（11分）
下面反证法证明：
假设an+1≥3，则

3

a

＜(

3

4

)n，即lg

3

a

＜nln

3

4

，则n＜

lg 3 a

lg 3 4

，
与已知n≥

lg 3 a

lg 3 4

矛盾．
所以假设不成立，原结论成立，
即当n≥

lg 3 a

lg 3 4

时，an+1＜3．（14分）

点评：本题主要考查利用数学归纳法证明不等式，考查分析法、反证法，综合性强，是一道难题．