题目内容
已知函数f（x）满足f（x）=
（其中
为f（x）在点x=
处的导数，c为常数）．若函数f（x）的极小值小于0，则c的取值范围是 ．
【答案】分析：求出f（x）的导函数，令x=
得到关于f′（ 
）的方程，解方程求出f′（
）的值．再将f′（ 
）的值代入f（x）的解析式，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，根据表求出函数f（x）的单调区间，进而得出函数的极小值，最后建立关于C的不等关系求解即可．
解答：解：由f（x）=x3+f′（
）x2-x+C，
得f′（x）=3x2+2f′（
）x-1．
取x=
，得f′（ 
）=3×（ 
）2+2f′（ 
）×（ 
）-1，
解之，得f′（
）=-1，
∴f（x）=x3-x2-x+C．
从而f′（x）=3x2-2x-1=3（x+
）（x-1），列表如下：
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-
）和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是（-
，1）．
∴函数f（x）的极小值为f（1）=-1+C，由题意得-1+C＜0，
∴C＜1．
则c的取值范围是 （-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．
点评：求函数的单调区间及函数的极值、最值，一般列出x，f′（x），f（x）的变化情况表来解决；求函数在某区间函数单调性已知的问题，一般转化为导函数大于等于或小于等于0恒成立问题．
得到关于f′（ ）的方程，解方程求出f′（）的值．再将f′（ ）的值代入f（x）的解析式，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，根据表求出函数f（x）的单调区间，进而得出函数的极小值，最后建立关于C的不等关系求解即可．解答：解：由f（x）=x3+f′（
）x2-x+C，得f′（x）=3x2+2f′（
）x-1．取x=
，得f′（ ）=3×（ ）2+2f′（ ）×（ ）-1，解之，得f′（
）=-1，∴f（x）=x3-x2-x+C．
从而f′（x）=3x2-2x-1=3（x+
）（x-1），列表如下：| x | （-∞，- ） | - | （- ，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | + | - | + | ||
| f（x） | ↗ | 有极大值 | ↘ | 有极小值 | ↗ |
）和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是（-，1）．∴函数f（x）的极小值为f（1）=-1+C，由题意得-1+C＜0，
∴C＜1．
则c的取值范围是 （-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．
点评：求函数的单调区间及函数的极值、最值，一般列出x，f′（x），f（x）的变化情况表来解决；求函数在某区间函数单调性已知的问题，一般转化为导函数大于等于或小于等于0恒成立问题．
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