Question

已知钝角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且有(

2

a-c)cosB=bcosC，
（1）求角B的大小；
（2）设向量

m

=(cos2A+1，cosA)，

n

=(1，-

8

5

)，且

m

⊥

n

，求tan(

π

4

+A)的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把题设等式中的边转换成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosB的值，进而求得B．
（2）利用向量垂直的性质利用向量的坐标求得cos2A+1-

8

5

cosA=0，利用二倍角公式整理成关于cosA的一元二次方程求得cosA的值，利用同角三角函数的基本关系求得tanA的值，然后利用正切的两角和公式求得tan（A+

π

4

）的值．

解答：解：（1）∵(

2

a-c)cosB=bcosC，
由正弦定理得：(

2

sinA-sinC)cosB=sinBcosC
∴

2

sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC即

2

sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
∴

2

sinAcosB=sin(B+C)
因为在△ABC中sin（B+C）=sinA则

2

sinAcosB=sinA
∴cosB=

2

2

，B=

π

4

（2）∵

m

⊥

n

∴

m

•

n

=0即cos2A+1-

8

5

cosA=0
∴2cos2A-

8

5

cosA=0即2cosA(cosA-

4

5

)=0
∵cosA≠0∴cosA=

4

5

由sin²A+cos²A=1，sinA＞0
∴sinA=

3

5

，tanA=

3

4

则tan(A+

π

4

)=

1+tanA

1-tanA

=

1+ 3 4

1- 3 4

=7

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，二倍角两角和公式的化简求值，同角三角函数的基本关系的应用．综合考查了学生对三角函数基础知识的掌握．