Question

如图已知：平面α与平面β所成角为60°，直角三角形斜边AB在棱l上，直角边BC，CA在平面β内，它们与平面α所成角分别为θ₁，θ₂．
求：sin²θ₁+sin²θ₂的值．

Answer 1

分析：过点C作平面α的垂线，垂足为O，则∠CBO=θ₁，∠CAO=θ₂，过O作l的垂线，垂足为G，则∠CGO=60°为二面角α-l-β的平面角，再分别表示出θ₁，θ₂与∠CGO的正弦值，并且结合直角三角形的性质得到答案．

解答：解：过点C作平面α的垂线，垂足为O，则∠CBO=θ₁，∠CAO=θ₂，
过O作l的垂线，垂足为G，则∠CGO=60°为二面角α-l-β的平面角，
所以sinθ₁=

OC

BC

，sinθ₂=

OC

AC

，sin60°=

OC

GC

，
所以sin²θ₁+sin²θ₂=

OC2•(AC2+BC2)

AC2•BC2

=

OC2•AB2

AC2•BC2

=

OC2•AB2

GC2•AB2

=

OC2

GC2

=sin²60°=

3

4

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握线面角与二面角平面角的定义与作法，以及直角三角形的有关性质，此题综合性较强属于中档题．