Question

如图,已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁,过一面对角线AB₁且与另一面对角线BC₁平行的平面交上底面A₁B₁C₁的一边A₁C₁于点D.

(1)确定D点的位置,并证明你的结论.

(2)证明平面AB₁D⊥平面AA₁D.

(3)若AB=6,AA₁=4,求直线BC₁与平面AB₁D的距离.

(4)若AB∶A₁A=k,问是否存在实数k,使平面AB₁D与平面AB₁A₁所成角的大小为45°？若存在,请求出k的值；若不存在,请说明理由.

Answer 1

思路解析：(1)线面平行,转化为线线平行,故可通过补形进行平移；(2)要证面面垂直,需证线面垂直；(3)要求线面距离可通过线面平行转化为点面距离；(4)对探索性问题,不妨假设存在,然后求解或推理论证.

 

(1)证明：如上图,将正三棱柱ABC—A₁B₁C₁补成直平行六面体ABCE—A₁B₁C₁E₁,从而有AE₁∥BC₁.

∴BC₁∥面AB₁E₁.

∴面AB₁E₁为所求平行平面,此时面AB₁E₁与A₁C₁交于点D.

又A₁B₁C₁E₁为平行四边形,

∴D为A₁C₁中点.

(2)证明：连结AD,由直平行六面体定义知AA₁⊥面A₁B₁C₁E₁,

∴AA₁⊥B₁D.

又A₁B₁C₁E₁为菱形,∴B₁D⊥A₁C₁.

∴B₁D⊥面AA₁D.

又B₁D面AB₁D,

∴面AB₁D⊥面AA₁D.

(3)解法一：∵BC₁∥平面AB₁D,

∴只需求C₁到平面AB₁D的距离.

又A₁D=DC₁,故只需求A₁到面AB₁D的距离即可.

由(2)知面AB₁D⊥面AA₁D,

∴过A₁作A₁M⊥AD,则A₁M⊥平面AB₁D.

∴A₁M为所求.

由A₁D·AA₁=A₁M·AD,得A₁M=.

解法二：由V_c1—AB1D=V_a—B₁C₁D,S_△B1C1D=,S_△ADB1=,

得,

∴h=,即C₁到平面AB₁D的距离为.

(4)解：如下图,过点D作DG⊥A₁B₁于点G,则DG⊥面A₁B₁BA.

过G作GH⊥AB₁于点H,连结DH,则DH⊥AB₁,

∴∠DHG为A₁-AB₁-D的平面角.

若∠DHG=45°,设AA₁=a,则AB=ka,DG=ka.

∵AA₁∶AB₁=GH∶GB₁,

∴GH=,GH=DG=ka.

∴k=2.

∴存在k=2,使平面AB₁D与平面AB₁A₁所成角的大小为45°.

巧解提示  本题以正三棱柱为载体,融合了线线、线面、面面的位置关系以及距离、角、体积等问题.一般地,利用三棱锥等积法寻找底面上的高,常将一个底面的顶点选在多面体的同一表面上.