Question

已知函数f(x)=

x -1，x≥1 1- x ，0≤x＜1

（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

a

+

b

的值；
（2）是否存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）？如果存在，请求出m的取值范围；反之，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用y=f（x）在[0，1），（1，+∞）上的单调性，及f（a）=f（b），可得1-

a

=

b

-1，从而求出

a

+

b

的值；
（2）可假设存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）．再由函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0），结合（1）的结论知可判断出a，b是方程mx-

x

+1=0的两个根，利用函数思想，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．

解答：解：（1）y=f（x）在[0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）
可得0＜a＜1＜b，且1-

a

=

b

-1，
∴

a

+

b

=2；
（2）假设存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）
由[a，b]⊆（1，+∞），y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，有

a -1=ma b -1=mb

，此时a，b是方程mx-

x

+1=0的两个根，
而m=-

1

x

+

1

x

，x＞1，令t=

1

x

∈（0，1），m=-t²+t，⇒0＜m＜

1

4

，
或t=

1

x

∈（0，1），g（t）=mt²-t+1，有

m＞0 1 2m ＞0 g(1)＞0 g(0)＞0

⇒0＜m＜

1

4

，
故存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）．m的取值范围为：（0，

1

4

）．

点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考查了分段函数，函数的定义域、值域构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，考查了推理判断能力，是一道综合性较强的题．