Question

如图1­5，三棱柱ABC ­A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，AB⊥B₁C.

图1­5

(1)证明：AC＝AB₁；

(2)若AC⊥AB₁，∠CBB₁＝60°，AB＝BC，求二面角A ­A₁B₁ ­C₁的余弦值．

Answer 1

解：(1)证明：连接BC₁，交B₁C于点O，连接AO，因为侧面BB₁C₁C为菱形，所以B₁C⊥BC₁，且O为B₁C及BC₁的中点．

又AB⊥B₁C，所以B₁C⊥平面ABO.

由于AO⊂平面ABO，故B₁C⊥AO.

又B₁O＝CO，故AC＝AB₁.

(2)因为AC⊥AB₁，且O为B₁C的中点，所以AO＝CO.

又因为AB＝BC，所以△BOA≌ △BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB₁两两垂直．

以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O­　xyz.

因为∠CBB₁＝60°，所以△CBB₁为等边三角形，又AB＝BC，则A，B(1，0，0)，B₁，C.

＝，

＝AB＝，

₁＝BC＝.

设n＝(x，y，z)是平面AA₁B₁的法向量，则

即

所以可取n＝(1，，)．

设m是平面A₁B₁C₁的法向量，

则

同理可取m＝(1，－，)．

则cos〈n，m〉＝＝.

所以结合图形知二面角A ­A₁B₁ ­ C₁的余弦值为.