Question

如图，在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图阴影部分所示，已知，路宽，设灯柱高，.

（1）求灯柱的高(用表示)；
（2）若灯杆与灯柱所用材料相同，记所用材料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．

Answer 1

（1）；（2）当时，取到最小值 m 。

试题分析：（1）由已知得，           1分
又，                  2分
在中，                  3分

                   4分
在中，               5分
即                            6分
（2）中，
.....8分
则       10分
因，当时，
取到最小值 m                     12分
点评：中档题，本题是综合性较强的一道应用问题，涉及正弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质。关键是“理解题意、构建函数关系、恒等变形、研究最值”，本题益充分研究图形特点，发现三角形中的边角关系。