Question

已知0＜α＜

π

4

，β为f(x)=cos(2x+

π

8

)的最小正周期，

a

=(tan(α+

1

4

β)，-1)，

b

=(cosα，2)，且

a

•

b

=m，求

2cos2α+sin2(α+β)

cosα-sinα

的值．

Answer 1

分析：由题意 β为 f(x)=cos(2x+

π

8

)的最小正周期可求得β=π，再由

a

=(tan(α+

1

4

β)，-1)，

b

=(cosα，2)及

a

•

b

=m，可得出cosα•tan(α+

1

4

β)=m+2，然后再化简

2cos2α+sin2(α+β)

cosα-sinα

求其值即可得到答案

解答：解：因为 β为 f(x)=cos(2x+

π

8

)的最小正周期，故 β=π．
因

a

•

b

=m，又

a

•

b

=cosα•tan(α+

1

4

β)-2．故 cosα•tan(α+

1

4

β)=m+2．
由于 0＜α＜

π

4

，所以

2cos2α+sin2(α+β)

cosα-sinα

=

2cos2α+sin(2α+2π)

cosα-sinα

=

2cos2α+sin2α

cosα-sinα

=

2cosα(cosα+sinα)

cosα-sinβ

=2cosα

1+tanα

1-tanα

=2cosα•tan(α+

π

4

)=2(2+m)．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式及三角恒等变换求值，解题的关键是熟练掌握三角函数的性质及三角恒等变换公式，能利用公式进行化简求值，本题考查了推理判断的能力及根据公式化简计算求值的能力，是三角函数中的基本题