Question

（2008•宝山区二模）已知0＜k＜4，直线l1：y-4=

k

2

(x-2)和直线l2：y-4=-

8

k2

(x-2)与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值是

1

2

．

Answer 1

分析：先求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，利用四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，再应用二次函数的性质求出面积最小时的k 值．

解答：解：如图所示：
直线l1：y-4=

k

2

(x-2)，过定点B（2，4），
与y 轴的交点C（0，4-k），
直线l2：y-4=-

8

k2

(x-2)，过定点（2，4 ），与x 轴的交点A（

1

2

k²+2，0），
由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为

1

2

×4×（

1

2

k²+2-2）+

2×(4-k+4)

2

=k²-k+8，∴k=

1

2

时，所求四边形的面积最小，
故答案为

1

2

．

点评：本题考查直线过定点问题，本题考查过顶点的直线和四边形的面积的最值，在立体几何和解析几何中，不论求什么图形的面积一般都要表示出结果，再用函数的最值来求，体现了转化及数形结合的数学思想．