Question

（2011•天津模拟）已知方程（y+1）（|x|+2）=4，若对任意x∈[a，b]（a，b∈Z），都存在唯一的y∈[0，1]使方程成立；且对任意y∈[0，1]，都有x∈[a，b]（a，b∈Z）使方程成立，则a+b的最大值等于

2

．

Answer 1

分析：原方程化为：y=

4

|x|+2

-1，画出此函数的图象，结合题中条件：对任意y∈[0，1]，都有x∈[a，b]（a，b∈Z）使方程成立，又对任意x∈[a，b]（a，b∈Z），都存在唯一的y∈[0，1]使方程成立；由图象知故a+b的最大值即可．

解答：解：原方程（y+1）（|x|+2）=4，化为：
y=

4

|x|+2

-1，
画出此函数的图象，
由图象知：
对任意y∈[0，1]，都有x∈[a，b]（a，b∈Z）使方程成立，得出：[a，b]?[-2，2]；
又对任意x∈[a，b]（a，b∈Z），都存在唯一的y∈[0，1]使方程成立；
得出：[a，b]可能为[-2，0]，[-2，1]，[0，2]，[-1，2]，[-2，2]五种情况；
故a+b的最大值为：2．
故答案为：2．

点评：本题考查分式函数、绝对值函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．