题目内容
已知函数f（x）满足：对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（ ）
| A、f（x）=2x+1 | B、f（x）=ex | C、f（x）=lnx | D、f（x）=xsinx |
分析：将所给的不等式化为：“f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）”，得到不等式对应的函数含义，根据基本函数同为增函数时的增长情况，对答案项逐一进行判断即可．
解答：解：由f（x+2）+f（x）＜2f（x+1）得，
f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）①，
∵（x+2）-（x+1）=（x+1）-x，
∴①说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，
A、f（x）=2x+1是一次函数，且在R上直线递增，函数值的变化量是相等的，A错；
B、f（x）=ex是增长速度最快-呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越大，B错；
C、f（x）=lnx是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，C正确；
D、f（x）=xsinx在定义域上不是单调函数，举例：f（0）=0，f（
）=
，f（π）=0，D错．
故选C．
f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）①，
∵（x+2）-（x+1）=（x+1）-x，
∴①说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，
A、f（x）=2x+1是一次函数，且在R上直线递增，函数值的变化量是相等的，A错；
B、f（x）=ex是增长速度最快-呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越大，B错；
C、f（x）=lnx是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，C正确；
D、f（x）=xsinx在定义域上不是单调函数，举例：f（0）=0，f（
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
故选C．
点评：本题考查了基本函数同为增函数时的增长速度的应用，此题的关键是将不等式进行转化，并能理解不等式所表达的函数意义，考查了分析问题、解决问题的能力．
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