Question

（本题满分15分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上。

   （1）求a₁和a₂的值；

   （2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；

   （3）设c_n=a_n·b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n

 

Answer 1

【答案】

（1）a₂=4 （2）b_n=2n-1，a_n=2ⁿ                                      

             （3）T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6              

【解析】（1）∵a_n是S_n与2的等差中项

       ∴S_n=2a_n-2               ∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2

         a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4                                                                           

   （2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，

       又S_n—S_n-1=a_n，

       ∴a_n=2a_n-2a_n-1，

       ∵a_n≠0，

       ∴，即数列{a_n}是等比数列∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ

       ∵点P(b_n，b_n+1)在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2，

即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1

 

   （3）∵c_n=(2n-1)2ⁿ

       ∴T_n=a₁b₁+ a₂b₂+····a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+····+(2n-1)2ⁿ，

       ∴2T_n=1×2²+3×2³+····+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹

       因此：-T_n=1×2+(2×2²+2×2³+···+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

       即：-T_n=1×2+(2³+2⁴+····+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

       ∴T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6