Question

已知函数．

    （1）求函数g（x）的极大值；

    （2）求证：存在，使；

    （3）对于函数与h（x）定义域内的任意实数x，若存在常数k、b使得≤kx +b和

         h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数与h（x）的分界线，试探究函数 与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请给予汪明，并求出k、b的值：若不存在，请说明理由。

Answer 1

    （1）

令解得

       令解得．

       ∴函数在（0,1）内单调递增，在上单调递减．  

       所以的极大值为

（2）由（Ⅰ）知在（0,1）内单调递增，在上单调递减，

       令

    ∴  

       取则

  

故存在使即存在使

      （说明：的取法不唯一，只要满足且即可）

（3）设

      则

      则当时，，函数单调递减；

      当时，，函数单调递增．

      ∴是函数的极小值点，也是最小值点,

      ∴

      ∴函数与的图象在处有公共点（）．

      设与存在“分界线”且方程为，

      令函数

      ①由≥，得在上恒成立，

      即在上恒成立，

      ∴，

      即，

      ∴，故

      ②下面说明：，

      即恒成立．

      设

      则

      ∵当时，,函数单调递增，

        当时，,函数单调递减，

      ∴当时，取得最大值0，．

      ∴成立．

      综合①②知且

      故函数与存在“分界线”，

      此时…