题目内容

(1)已知tanα=2,求2sin2α-3sinαcosα-2cos2α的值.
(2)已知-
π
2
<x<0,sinx+cosx=
1
5
,求
1
1+sinx
+
1
1+cosx
和sinx-cosx的值.
分析:(1)利用“1“的代换,把分母的“1”换为平方关系,利用齐次式同除cos2α,得到关于tanα的表达式,即可求解.
(2)通过已知条件求出sinxcosx,
1
1+sinx
+
1
1+cosx
同分后,整体代入求解即可;根据角的范围,利用平方化简,求出sinx-cosx的值.
解答:解:(1)∵tanα=2
原式=
2sin2α-3sinαcosα-2cos2α
sin2α+cos2α
=
2tan2α-3tanα-2
1+tan2α
=
8-6-2
1+4
=0

(2)∵sinx+cosx=
1
5
∴sinx•cosx=-
12
25

原式=
2+sinx+cosx
1+(sinx+cosx)+sinx•cosx
=
2+
1
5
1+
1
5
-
12
25
=
55
18

(sinx-cosx)2=
49
25

-
π
2
<x<0∴sinx-cosx<0∴sinx-cosx=-
7
5
点评:本题是基础题,(1)是数学模型,固定格式的解题方法;(2)体现整体数学思想,根据角的范围估计三角函数值的范围,是三角函数的一个特色,是易错点,常考点.
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